[2015년 저현고]

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[1학년 2학기 기말]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이 [eqn: a _{1} =2], [eqn: a _{2} =4], [eqn: a _{n+1} ` ^{2} =a _{n} a _{n+2} (n=1,```2,```3,``` CDOTS )]로 정의될 때, [eqn: sum _{ k=1} ^{10 }a_k]의 값은?

③

① [eqn: 2034]	② [eqn: 2040]	③ [eqn: 2046]

④ [eqn: 2052]	⑤ [eqn: 2058]

실수 [eqn: x]의 [eqn: n]제곱근 중에서 실수인 것의 개수를 [eqn: f(x,```n)]이라 하자. [eqn: 2f( sqrt {3} ,```4)+3f( root {5} of {-3} ,```5)+4f(- root {6} of {3} ,```6)]의 값은?

①

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: x], [eqn: y]가 양수일 때, 다음 중 옳은 것은? (단, [eqn: a!=1], [eqn: b!=1], [eqn: c!=1])

③

① [eqn: log_a (x+y) =log_a x +log_a y]

② [eqn: log_a x^n =(log_a x)^n]

③ [eqn: log _{a} b cdot log _{b} c cdot log _{c} d=log _{a} d]

④ [eqn: log_a {x over y} = { log_a x} over { log_a y}]

⑤ [eqn: a^ {log_a b} =a]

[eqn: sum _{k=2} ^{15} {log _{2} (k+1)-log _{2} k} over {log _{2} k cdot log _{2} (k+1)}]의 값은?

③

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 2 over 3]	③ [eqn: 3 over 4]

④ [eqn: 3 over 5]	⑤ [eqn: 5 over 6]

실수 [eqn: a]의 값에 관계없이 로그가 정의될 수 있는 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

①

ㄱ. [eqn: log_{a^2 -a+2} (a^2 +1)]

ㄴ. [eqn: log_{a^2 +2} (a^2 -2a+1)]

ㄷ. [eqn: log_{3 LEFT | a RIGHT | +1} (a^2 +1)]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: root 3 of { LEFT ( a-1 RIGHT )x^2 +2(a-1)x -3]이 음수가 되기 위한 실수 [eqn: a]값의 범위를 구하면?

③

① [eqn: a GEQ 1]	② [eqn: -2 LEQ a LEQ 1]	③ [eqn: -2 < a LEQ 1]

④ [eqn: 1 LEQ a <2]	⑤ [eqn: -2 < a< 2]

[eqn: 1+ 1over 2 + 1 over 3 + CDOTS + 1 over 10 =a]라고 할 때,
[eqn: {1} over {2 CDOT 3} + {2} over {3 CDOT 4} + {3} over {4 CDOT 5} + CDOTS + {9} over {10 CDOT 11}]
의 값을 [eqn: a]로 나타내면?

④

① [eqn: a - 9 over 11]	② [eqn: a - 1]	③ [eqn: a - 11 over 10]

④ [eqn: a - 20 over 11]	⑤ [eqn: a - 19 over 9]

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위에 다음 조건을 만족시키도록 점 [eqn: rmP _{1}], [eqn: rmP _{2}], [eqn: rmP _{3}], [eqn: cdots]을 정해 나간다.

이 때, [eqn: a_21 +a_30]의 값은?

(가) 점 [eqn: rmP _{1}]의 좌표는 [eqn: (1,```1)]이다.

(나) 점 [eqn: {rmP} _{n}]의 좌표는 [eqn: (a _{n} ,```a _{n} ^{2} )]이다.

(다) 직선 [eqn: {rmP} _{n} {rmP} _{n+1}]의 기울기는 [eqn: 4n]이다.

②

① [eqn: 96]	② [eqn: 100]	③ [eqn: 104]

④ [eqn: 108]	⑤ [eqn: 112]

다음 상용로그표를 이용하여 [eqn: 1 over root4 of 0.000611]의 값은?

③

수	[eqn: 0]	[eqn: 1]	⋯	[eqn: 5]	[eqn: 6]
[eqn: 6.1]	[eqn: .7853]	[eqn: .7860]	⋯	[eqn: .7889]	[eqn: .7896]
[eqn: 6.2]	[eqn: .7924]	[eqn: .7931]	⋯	[eqn: .7959]	[eqn: .7966]
[eqn: 6.3]	[eqn: .7993]	[eqn: .8000]	⋯	[eqn: .8028]	[eqn: .8035]
[eqn: 6.4]	[eqn: .8062]	[eqn: .8069]	⋯	[eqn: .8096]	[eqn: .8102]

① [eqn: 6.10]	② [eqn: 6.21]	③ [eqn: 6.36]

④ [eqn: 6.40]	⑤ [eqn: 6.46]

다음은 [eqn: n GEQ 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식
[eqn: 1+ 1 over 2 + 1over3 + CDOTS + 1 over n > 2n over n+1]
가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

(ⅰ) [eqn: n=2]일 때, [eqn: (좌변)= BOX{````(가)````} > {4} over {3} =(우변)]

이므로 주어진 등식은 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k(k=2,```3,```4,``` CDOTS )]일 때, 주어진 부등식이

성립한다고 가정하자.

[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + CDOTS + {1} over {k} + {1} over {k+1} > BOX{````(나)````} + {1} over {k+1}]

이때, [eqn: LEFT { BOX{````(나)````} + {1} over {k+1} RIGHT } - {2(k+1)} over {k+2} = BOX{````(다)````} >0]

이므로

[eqn: box { ``( 나)``}+ { 1} over {k+1 } > { 2(k+1)} over { k+2}]

그러므로 [eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + CDOTS + {1} over {k} + {1} over {k+1} > {2(k+1)} over {k+2}]

따라서 [eqn: n=k+1]일 때에도 주어진 부등식은

성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: n GEQ 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 부등식이 성립한다.

⑤

(가)	(나)	(다)

① [eqn: 1 over 2]	[eqn: 2k over k+1]	[eqn: k over {(k+1)(k+2)]

② [eqn: 1 over 2]	[eqn: k over k+1]	[eqn: 3k over {(k+1)(k+2)]

③ [eqn: 3 over 2]	[eqn: k over k+1]	[eqn: 3k over {(k+1)(k+2)]

④ [eqn: 3 over 2]	[eqn: 2k over k+1]	[eqn: 3k over {(k+1)(k+2)]

⑤ [eqn: 3 over 2]	[eqn: 2k over k+1]	[eqn: k over {(k+1)(k+2)]

[eqn: log x]의 정수부분이 [eqn: 4]이고 [eqn: logy]의 정수부분이 [eqn: 1]일 때,
[eqn: LEFT ( log { x over y} RIGHT ) LEFT (log { y over x } RIGHT )]의 값 중에서 정수의 개수는?

④

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

[eqn: abc =36]인 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 있다. [eqn: 3 ^{a} =7 ^{4}], [eqn: 7 ^{b} =5 ^{3}]일 때, [eqn: 5^c]의 값을 구하면?

④

① [eqn: 9]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 33]

수열 [eqn: 1,```1,```3,```1,```3,```5,```1,```3,```5,```7,``` CDOTS]을 다음과 같이 군으로 묶어 나타내기로 하였다.

[eqn: 제1군```(1),# 제2군```(1,```3),# 제3군```(1,```3,```5),# VDOTS]

제[eqn: m]군의 제[eqn: n]항을 [eqn: f(m,```n)]이라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

④

ㄱ. [eqn: sum _{k=1} ^{10} f(k,```k)= sum _{k=1} ^{10} f(10,```k)]

ㄴ. [eqn: f(m+1,```n+1)-f(m,```n)]의 값은 일정하지 않다.

ㄷ. [eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} f(n,```k)]라 하면, [eqn: sum _{ n=1} ^{10 }S_n =385]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: n]각형의 대각선의 개수를 [eqn: a_n (n GEQ4)]이라고 할 때, [eqn: sum _{ k=4} ^{14 }a_k]을 구하면?

⑤

① [eqn: 180]	② [eqn: 216]	③ [eqn: 250]

④ [eqn: 332]	⑤ [eqn: 352]

세 수 [eqn: root {5} of {3}], [eqn: root {3} of {2}], [eqn: root {4} of {3}] 중에서 가장 작은 수를 [eqn: m], 세 수 [eqn: root {5} of {3}], [eqn: root {15} of {35}], [eqn: root {10} of {10}] 중에서 가장 큰 수를 [eqn: M]이라 할 때 [eqn: M over m =2^a 3^b 5^c 7^d]이다. 이 때 [eqn: a-b+c+d]의 값은?

④

① [eqn: 2 over 15]	② [eqn: 1 over 5]	③ [eqn: 4 over 15]

④ [eqn: 1 over 3]	⑤ [eqn: 2 over 5]

첫째항이 [eqn: 1]이고 공차가 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]을 [eqn: b _{n} =a _{n} -3 LEFT [ {a _{n}} over {3} RIGHT ] LEFT ( n=1,```2,```3,``` CDOTS RIGHT )]으로 정의할 때, [eqn: sum _{ k=1} ^{29 } b_k]의 값은? (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

②

① [eqn: 27]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 29]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 31]

서술형

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 1], 공비가 [eqn: 2]인 등비수열을 이루고, 수열 [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]에서 [eqn: b _{1}], [eqn: b _{2}], [eqn: cdots], [eqn: b _{10}]을 [eqn: b _{n} = {cases{a _{n+k} &```(1 LEQ n LEQ 10-k)#a _{n+k-10} &```(10-k<n LEQ 10)}}]과 같이 정의한다. [eqn: y= sum _{n=1} ^{10} a _{n} b _{n}]이라 할 때, [eqn: y]가 최소가 되도록 하는 자연수 [eqn: k]의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

[eqn: 5]

[eqn: 25%]의 소금물 [eqn: rm100g]과 [eqn: 15%]의 소금물 [eqn: rm100g]을 섞은 소금물의 농도를 [eqn: a _{1} %], [eqn: a _{1} %]의 소금물 [eqn: rm100g]과 [eqn: 15%]의 소금물 [eqn: rm100g]을 섞은 소금물의 농도를 [eqn: a_2 %]라고 하자. 이와 같은 시행을 [eqn: n]번 반복한 소금물의 농도를 [eqn: a_n %]라고 할 때, [eqn: a_1 +a_4]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오.

[eqn: 35.625]

두 자리의 자연수 [eqn: M]의 십의 자리와 일의 자리의 숫자를 서로 바꾼 수를 [eqn: N]이라 하자. 이 때 [eqn: (M-N)^ {1over3]이 정수가 되도록 하는 [eqn: M]의 개수를 구하는 과정을 서술하시오. (단, [eqn: M !=N])

[eqn: 13]개

자연수 [eqn: M], [eqn: N]에 대하여 [eqn: M^3]은 [eqn: 12]자리의 정수, [eqn: MN^2]은 [eqn: 25]자리의 정수일 때, [eqn: N]은 몇 자리의 정수인지 구하고 그 과정을 서술하시오.

[eqn: 11]

[2015년 저현고]

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[1학년 2학기 기말]

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